UNIDAD 3: OPEREMOS CON FUNCIONES

TEMA 1: Función Inyectiva y Función Inversa

Función  Inyectiva: Se dice que una función F(X)  es inyectiva cuando cada elemento del dominio tiene una y una solamente imagen

 

FORMAS DE UNA FUNCIÓN INYECTIVA

1-      En forma de pares ordenados si una función esta en pares ordenados decimos que dicha función es inyectiva si la componente “Y” de los pares ordenados.

¿Cuál de las siguientes funciones son inyectivas?

 

SI ES FUNCION

En forma de grafica en plano cartesiano

Nota 1: una relación entre conjuntos en forma de pares ordenados si el componente x no se repite

Nota 2: la función es inyectiva cuando la componente “y” no se repite es un conjunto de pares ordenados

Para saber que una grafica que una función es inyectiva aplicamos la regla llamada REGLA DE RECTAS HORIZONTALES

Trazar rectas horizontales sobre toda la grafica si estas reglas cortan en la grafica en mas de una ocasión entonces la función no es inyectiva si las rectas horizontales cortan el grafico una vez entonces es inyectiva

IDENTIFICAR SI LAS SIGUIENTES GRAFICAS CORRESPONDEN A FUNCIONES INYECTIVAS

 

FORMA DE ECUACIÓN O FORMULA

Para saber que una función es inyectiva cuando conocemos su formula hacemos la siguiente prueba: Hacemos una tabla de valores con valor distinto de cero y su negativo en su dominio la función es inyectiva cuando los valores de “y” no se repiten

PROBAR SI LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON INYECTIVAS

Nota 1: por lo general las funciones cuadráticas no son inyectivas sin embargo estas funciones cuadráticas para que sean funciones inyectivas se restringe el dominio con la formula pero con diferente dominio o valores de “x”

Nota 2: la restrinsión de una función dada es otra función definida en una parte del dominio de la función original, pero que actua igual que esta entonces decimos que la primera función es una extención de la segunda función 

Se incluye la función y= + 1 si es inyectiva cuando se restringe el dominio para  x 2

Función inversa de una función

Si f(x) es una función inyectiva entonces su función inversa se escribe f(x

Clases de Funciones:

a) Funciones Generales
b) Funciones Especiales

Funciones Generales:

Las funciones generales son las siguientes:

1) Función Inyectiva (o función uno a uno)

Una función F de A en B se dice que es inyectiva cuando cada elemento del dominio tiene una sola imagen en el codominio, simbólicamente se escribe así:

F: A → B ó A ^f→ B.

2) Función Sobreeyectiva:

Una función g de A en B se dice que sobreyectiva si todo elemento de codominio, o conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio. Ejemplo: 

3) Función Biyectiva
 

Una función h de A en B es una función biyectiva. SI es biyectiva y sobreyectiva simultáneamente.

En diagrama así de Venn se representa así:

 

4) Función Constante

Una función j es constante o conjunto de llegada.

Función Identidad

Una función M de A en B es función identidad si todo elemento del dominio tiene su misama imagen en el codominio o conjunto de llegada en diagrama de Venn.

FUNCIONES ESPECIALES

Función de grado a cero

La función de grado cero se llama también función constante: y = k, donde k pertenece a los números reales.

Sea f(x) = k, en donde k es una constante (cualquier número real).

El grafico es una línea recta paralela al eje de la x en el plano cartesiano.

*Si, k está por encima del eje x, k es positiva.

*Si, k está por debajo del eje x, k es negativo.

Función Identidad

Una función M de A en B es función identidad si todo elemento del dominio tiene su misama imagen en el codominio o conjunto de llegada en diagrama de Venn.

FUNCIONES ESPECIALES

Función de grado a cero

La función de grado cero se llama también función constante: y = k, donde k pertenece a los números reales.

Sea f(x) = k, en donde k es una constante (cualquier número real).

El grafico es una línea recta paralela al eje de la x en el plano cartesiano.

*Si, k está por encima del eje x, k es positiva.

*Si, k está por debajo del eje x, k es negativo.

Ejemplo:

Graficar las funciones de grado cero (o constantes)

3) f(x) = 4

Solucion:
1° Paso) Hacer una table de datos.

FUNCION DE PRIMER GRADO (O DE GRADO) O FUNCION LINEAL

La función polinomica de grado uno llama también función de 1° grado o función lineal; por que las variables X y Y están elevadas a la primera potencia.

Una función de primer grado tiene la forma siguiente:

Y = mx + b                               ó              Y = mx

m = Pendiente de la recta       

Si m>0 : la recta es creciente.
Si m<0 : la recta  es decreciente.

b = Intercepto del eje y con la recta.

Nota:       Para y = mx + b: La recta no pasa por el origen (0, 0)

Para y = mx: la recta pasa por el origen (0, 0)

Raiz de una función lineal.

Se llama raíz el punto donde la función (grafica) corta al eje x.

El punto raíz, por raíz se calcula igualando la función lineal igual a cero.

Calcular la raíz de la siguiente función lineal:
y = 3x + 2.

Solución: si y = 0

0 = 3x + 2  ó              3x + 2 = 0

                                               3x = -2

                                                X =  = 0.66666…

                                               X = 0.7

R/ La raíz es (x, y)   =              (-0.7, 0)

Significa: que la línea recta corta al eje x en el punto (-0.7, 0)

Método para graficar una función lineal.

Para graficar una función lineal hay dos métodos.

Método uno: Hacer la tabla de datos y su respectiva grafica.

Método dos: Encontrando las intersecciones de la recta con el eje x y el eje y.

Ejemplo:

Graficar la función y = 3x + 2

Por método 2 encontrar 2 puntos.

1°) Para primer punto:
si x = 0.

Si             y = 3x + 2
                 y = 3(0) + 2
                 y = 0 + 2
                 y = 2

P = (x, y)
P = (0, 2)

Para segundo punto:
Si y = 0

Si             0 = 3x + 2
                -2 = 3x
                 = x
                x = 0.7

P = (x, y)

P = (-0.7, 0)                              este punto es la raíz de la función lineal.