UNIDAD 1 "UTILICEMOS LAS RAZONES O FUNCIONES TRIGONOMETRICAS"

OBJETIVO DE LA UNIDAD.

Aplicar las razones trigonometricas al resolver con interes problemas de la vida cotidiana, relacionados con los triangulos rectangulos.

CONTENIDOS A ESTUDIAR

1. Definicion  trigonometrica ,angulo y  triangulos.

Trigonometrías la rama de la matemática que estudia los ángulos y triángulos.
Ángulo: se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos líneas rectas que se cortan en puntos. La recta son los lados del ángulo y el punto con el que cortan en su vértice. Los ángulos se representan por letras del alfabeto griego ∞ (alfa), β (beta), θ (teta), r (ra).
Modo de medir ángulos.
Para medir ángulos se puede hacer de dos maneras:
1. ángulo negativo: cuando el ángulo se mide en sentido al movimiento de las agujas del reloj.
2. ángulo positivo: cuando el ángulo se mide en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.
Así: dados los ángulos:

El lado desde donde se mide se llama lado inicial.
El lado hasta donde se mide el ángulo se llama lado terminal.

TAREA: Trazar 5 ángulos positivos y 5 ángulos negativos

Sistemas para medir ángulos.
Los ángulos se pueden medir en dos sistemas.
1. sistema sexagesimal: la medida del ángulo de este sistema es un grado (1º) ej.: 5º,10º.20º,150º, etc.
2. sistema circular o cíclico: la medida del ángulo en este sistema es radian. 

¿Cuánto mide la longitud una circunferencia? la longitud es 360º=2∏radiàn.
UNIDADES ANGULARES
La medida de un ángulo puede expresarse en grados o en radianes.
en el sistema sexagesimal el ángulo unidad es en grado (1º) y se define como uno 1/360º ara parte de una circunferencia en el sistema circular o cìclico, la unidad de medida angular  en este sistema es un radián.
un radián se define como el ángulo central de una circunferencia cualquiera subtendido por un arco cuya longitud es igual a radio de una misma.


Es una circunferencia  mide de longitud 365º = 2  π  radián


¿Cuántos  radianes tienen una circunferencia?
Tiene 2π  radianes=2(3.14/6)radian=6.2832 radianes.


Conversión de Grados a Radianes y de Radianes a Grados
Para convertir grados a radianes y radianes a grados planteamos una regla de 3 simples
La regla de 3 simples tiene 2 partes un opuesto que es lo que conocemos del problema y una pregunta que es lo que queremos conocer del problema  

2. Angulos y su clasificacion, sistemas para medir angulos y relacion de  grados a radianes y radianes a grados.
CLASES DE ÁNGULOS.
Los ángulos se clasifican en dos grupos:
1-    Con su amplitud o tamaño.
2-    Por su posición respecto a otra u otros ángulos.
Según su amplitud o tamaño como los ángulos se clasifican así:
1-    Ángulo Agudo: un ángulo agudo mide menos de 90º (inferior a un ángulo recto).
2-    Ángulo Recto: un ángulo recto es un ángulo que mide 90º.
3-    Ángulo Obtuso:  un ángulo  obtuso es mayor que 90º y menor que 180º
4-    Ángulo Llano: Mide 180º, también se llama ángulo de lados colineales o semiplanos.
5-    Ángulo de una recta o polígono: y mide 360º también se llama ángulos completos pues abarco toda la región de la circunferencia.
6-    Ángulo cóncavo: es el ángulo cuya amplitud se encuentran entre  180º y 360º.
Sus gráficos son los siguientes:

 
3-    Ángulos  según su posición respecto a otro y otros ángulos.
Los ángulos  según su posición  pueden ser:
1)    Ángulos adyacentes: son los que es tan formados  de manera que un lado es común  a los otros dos lados pertenecen la recta.
2)    Ángulo complementario: son 2 ángulos  que suman 90º, cada uno es el complemento del otro.
Ejemplo: Hallar el ángulo  complementario 10º
10º +80º= 90º             90º  -  10º  =  80º
25º   +   65º   = 90º            90º  -  85º =  5º
3)    Ángulos suplementarios: son 2 ángulos que suman 180º y cada una el complemento del otro.
Ejemplo: Hallar el ángulo suplementario de 60º grados.
60º  +   120º   =  180º         180º - 60º = 120º
4)    Ángulos conjugados: son 2 ángulos que suman 360º o igual a un perigono.
Ejemplo: Hallar el ángulo conjugado de 100º
100 + 260 = 360º            360º - 100º = 260º

90º = 89º 60´         1º = 60´ Minutos
    = 8959´ 60´´        1º = 60´´ Segundos.

90º            90
            89º 60´            89  60
            89º  59´ 60´´
            89 59 60
5)    Ángulos compuestos por vértice: son 2 ángulos  cuando los lados de un ángulo son las  prolongaciones de los lados del otro ángulo.
6)    Ángulos consecutivos: son los ángulos que tienen un lado común que separa a otros 2 ángulos. Varios ángulos son consecutivos si el 1º es consecutivo del 2º, el 2º es consecutivo del 3º y así sucesivamente.
7)    Ángulos coterminales:  son los ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se dividen en  2 grupos:

a)    El menor ángulo positivo  coterminal de  Ѳ es:  Ѳ + 360º
b)    El mayor ángulo negativo coterminal de  Ѳ es:  Ѳ  - 360º
Ejemplo:
Encontrar:
A)    El menor ángulo positivo coterminal de 38º
Solución:
Ѳ + 360º                                              
=  38º + 360º
= 398º
Su gráfica 

B)    El mayo ángulo negativo coterminal de 38º
Solución:
Ѳ - 360º
=  38º - 360º
=  - 322º
Su gráfica 


Gráficos de los ángulos su según posición:

Los ángulos  alfa ( ) y beta (B) son ángulos adyacentes.

 

.










Los ángulos alfa ( ) y beta (B) son ángulos complementarios pues  alfa + beta = 90º

Los ángulos  alfa y  beta son suplementarios
Pues: alfa + beta = 180º

Los ángulos  alfa y  beta son ángulos conjugados pues alfa  beta = 360º

Lo ángulos a y c son opuestos por el vértice los ángulos b y d son opuestos  por el vértice
Además: a = c y b= d
 
Lo ángulos: a, b, c, d, e, f, g, h, son consecutivos.


ACTIVIDAD N. 1
ENCUENTRE EN CADA CASO EL MENOR ÁNGULO POSITIVO Y EL MAYOR ÁNGULO NEGATIVO COTERMINAL DE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS.
1.    a) 77º        b) -105º    c) 215º 3´    d) 200º 15´ 30´´
Encuentre el ángulo complementario de los siguientes ángulos
2.    a) 75º        b) 50º        c) 25º 30´    d) 30º 25´ 10´´
Encuentre el ángulo suplementario de los siguientes ángulos
3.    a) 115º        b) 93º        c) 30º 30´     d) 80º 40´20´´

4.    Reducir a radianes.

a)    30º        b) 45º        c) 120º        d) 135º

5.     Reducir a grados.
a)    2/8 radianes        b) 11/9 radianes     c) 7/6 radianes        d) 5/4 radianes

6.    Representar gráficamente usando los puntos cardinales las siguientes direcciones o rumbos geográficos.
c)  534º OE        d) 558º E    e) N 60º OE    f)  N 80º OE
g) S 37º OE        h) N 15º E
 


TEMA: RUMBO O DIRECCIONES GEOGRÁFICAS DE UN PUNTO GEOGRÁFICO.
Para indicar el rumbo o dirección geográfico de un punto se usan los puntos  cardinales.
El ángulo indicado se mide a partir del punto cardinal ubicado en el eje  vertical hasta el punto cardinal ubicado en el eje horizontal.
Ejemplo: ubicar la siguiente dirección N 40º OE  

(Se lee 40º al noreste
Aplicaciones de los ángulos.
La longitud de un arco de la circunferencia y área de un sector circular.
Sector Circular.
Esa la superficie limitada por un arco de la circunferencia y los radios correspondientes a sus extremos. El ángulo correspondiente al arco se llama: Amplitud del sector, y el radio de este es igual al radio de la circunferencia correspondiente al arco.
Arco de la circunferencia.

Trazados dos radios en un círculo quedan determinados 2 sectores circulares:
El que tiene mayor amplitud recibe el nombre de sector mayor y el otro sector menor.
En un sector circular el radio ´´r´´ se puede medir las siguientes elementos para.
1- ) Arco del círculo. S= Ɵ.r
2- ) El Angulo Ɵ= s/r en radianes
3- ) El Radio: r=s/ Ɵ
4- ) El área A=1/2 r2 Ɵ
5- ) El área: A=π.r2. Ɵ: si el Angulo esta medido en grados
                           360
Ejemplos:
1- ) calcular el valor del Angulo Ɵ si la longitud del arco (s) respectivo y el radio ® de la circunferencia son.
a-) Ɵ=?                                       B-) Ɵ=?
       S=28.4cm                                   s=e32.8 cm
R= 4 cm                                       r=3 cm
Formula: pasos                              solución:
Ɵ=s/r                                                  Ɵ=32.8 cm
Ɵ=28.4cm                                                   3
          4 cm                                          Ɵ=10.9 radianes.
Ɵ=7.1 radianes
2- ) Calcular la longitud del arco (s) determinada por un Angulo de 4.28 radianes si el radio mide 4 cm
S=?
Ɵ= 4.28 cm
R= 4cm
Formula
S= Ɵ.r
4.28 radianes x 4cm
=17.12 cm.
3- ) Se desea cercar con malla de alambre un sector circular  determinado por un ángulo de 120° y un radio de 8 metros ¿Qué longitud de malla se utilizará?


Solución:
Reducir 120° a radianes
                                  Si 360° = 2π radianes
                                   120°   =    x
X=120° x2π radianes =24 π radianes = 2   π radianes.
360°                          36                        3
2- ) Calcular  S:
S= Ɵ x r 3.1416
S=2/3 π radianes x 8cm
S=16.75 m.
3- )Longitud de la malla
= s+ r+ r
16.74+ 8m+ 8m
=32.75m
4- ) Un ángulo es 19 veces mayor que otro, si los 2 ángulos son suplementarios ¿Cuánto mide uno de los ángulo?
Sea:                                                 x+19x=180°       R/ *el ángulo menor es:
X= el ángulo menor                          20x=180°                             x=9°
19x= el ángulo mayor                          x=180°             *el ángulo mayor es:
                                                                    20                               =19(9°)
                                                                 X=9°
6- ) Un diámetro de rueda de bicicleta de Roberto mide 64 cm ¿Cuál es la distancia recorrida por Roberto cuando la rueda ha dado 12,500 vueltas?
D= 64cm
                                      R=D/2 = 64cm/2=
                                      R=32cm
                                       Distancia recorrida en 1 vuelta.
S=Ɵ.r
                                       S=π radianes 32cm
S=201.66 cm
Distancia recorrida en 12,500 vueltas
S= 12,500 x 201.66 cm
S=2513.50 cm = 25132.50 = 25.13 km
        Entre 100         entre 100 m
7- ) Si un arco de longitud (s) de un circulo de radio (r) subtiende un ángulo de Ɵ radianes. Entonces Ɵ=s/r
Conociendo la formula anterior, encontrar el ángulo medido en grados subtendidos por un arco de longitud 5π/12 en radio de 5 cm.



5π
12
5cm
1
Ɵ=5π radianes
              60
 
 3. Triangulos y  su  clasificacion 


Se llaman triángulos al  polígono cerrado formado por tres lados, tres ángulos internos y tres vértices.
Así dado el triangulo 
Teorema de los ángulos  internos en un triángulo:
Este teorema dice:
La suma de los tres ángulos internos de  un triángulo es 180º
Así: = ∞ + B + Ɵ + 180º

Clases de triángulos.
Los triángulos se clasifican en dos grupos.
1)    triángulos según la igualdad de sus lados
2)    triángulos según las clases de ángulos.


Triángulos según la igualdad de sus lados.
Según la igualdad de sus lados los triángulos pueden ser:
1)    triángulo escaleno: sus lados son iguales
2)    triángulosisósceles: tienen dos lados iguales y uno desigual
3)    triangulo equilátero: tienen sus tres lados iguales.

Sus diagramas son:
Triangulo escaleno

triangulo equilatero
Triángulo según las clases de ángulo.
Según la clase de ángulos.
lostriángulos pueden ser:


1) triangulo agudo o acutángulo: Sus 3 ángulos son agudos miden cada uno menos de 90 grados.
2) triangulo recto o triangulo rectángulo: tiene un ángulorecto (de 90 grados)
3) triangulo obtuso triangulo obtusángulo:tiene un ángulo obtuso(mayor de 90 grados y menor de 180 grados) 90º < Ɵ < 180º.




Triángulos rectángulos: son triángulo es un triángulorectángulo o triangulo recto si uno de sus ángulos mide 90 grados así dado el siguiente triangulo rectángulo.


Los 2 lados que forman el ángulo de 90º se llaman catetos, pues son lados perpendiculares, entre si y el lado que está inclinado se llama hipotenusa.

Teorema de Pitágoras:
Este teorema se cumple solamente si un triángulo es triangulo rectángulo o triangulo recto.
Este teorema se enuncia así:
“en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos”.
Simbólicamente se escribe así: c2 = a2 +b2
De donde:   para  “c”    para “a”    para “b”
c =a2 + b2           a2 = c2 –b2    b2 = c2 – a2
                                                     a = c2 – b2     b =  c2 – a2


El teorema de Pitágoras sirva para resolver triángulosrectángulos cuando se conocen 2 lados necesitamos conocer el 3º lado.
Ejemplo: resolver los siguientes triángulos rectángulos.

4. Funciones trigonometricas para  angulos agudos en  triangulos rectangulos.

Dado en triangulo rectángulo.

    Donde los ángulosyson agudos y complementarios.

    Así:         += 90°
                     = 90° -
                    = 90° -  

Hallar las 8 funciones o razones trigonométricas del ángulo    
Estas funciones  trigonométricas se definen así:

1) Seno de        seno        = Lado opuesto
    Hipotenusa



2)Coseno de   Cos  = Lado adyacente
      Hipotenusa         
3) Tangente de       tan    = lado opuesto        =  __1____
           Lado adyacente        cos

1
2    Funciones trigonométricas directa



Definición de razones trigonométricas.
Se llama relación trigonométrica a la relación que existe entre 2 lados de un triángulo rectángulo con respecto a un ángulo agudo.
Podemos concluir lo siguiente: El seno es la versión inversa de la cosecante.
El coseno es la función inversa de la cosecante, la tangente es la función inversa de la cotangente.
4
5    Funciones trigonométricas inversas.
6

Ejemplos:
Hallar las razones trigonométricas  (usando la calculadora)
Para 30°
Seno 30°  =               30          = 0.5
Cos 30°  =                  30         = 0.86602
Tan 30° =      30         = 0.57735
Cot 30° =    __1___  = 1.73205
    30°

Sec 30° = __1__   = 1.15470
    30°
   
Cos 30° = __1__  = 2
                               30°

Seno verso 30° = 1 –  0.86602  =  13398
Coseno verso 30° = 1 – sen 30° = 1 - 0.5
Para 45º
Sen 45° = 0.70710
Cos 45° = 0.70710
Tan 45° = 1
Cota 45° = ___1___   = 1
            Tan 45°
Sec 45° ___1___ = 1.41421
       Cos 45°
Csc  45° = __1__  = 1.41421
         Sen 45°
Seno verso  45° = 1 – cos 45° = 1 – 0.70710 = 0.2929
Coseno verso 45° = 1 – sen 45° = 1 – 0.70710 = 0.2929
Para 60°
Sen 60° =  0.86602
Cos 60° = 0.5
Tan 60° = 1.7320205
Cot 60° = __1__ = 0.57735
        Tan 60°
Sec 60° =  ___1___ =   3
           Cos 60°
Csc  60° = ___1___  =  1.15470
           Sen 60°   
Seno verso  60° = 1 –cos 60° = 1 – 0.5
Coseno verso 60° =  1 – sen 60° = 1 – 0.13398

Tarea
Con el uso de la calculadora  encuentre el valor natural de:

1.    Sen 38° 17’ =
2.    Cos 72° 54’ =
3.    Ctg 43° 6’ =
4.    Sec 13° 15’ =
5.    Tg 58° 19’ =
6.    Sec 59° 59’ =
7.    Sen 84° 2’
8.    Ctg 2° 15´
9.    Cos  38° 52´
10.    Tg 62° 30´
11.    Sec 75° 41´
12.    Csc 75° 58´
13.    Tg 21° 58´
14.    Ctg 85° 50´
15.    Tg 51° 42´
16.    Sen 24° 30´
17.    Csc 12° 59´
18.    Sec 90°







Halla los ángulos correspondientes a las expresiones correspondientes.

1.    Sen.  A = 0.21634
2.    Tan.  B = 3.0842
3.    Cos.  D = 0.19753
4.    Csc  K = 1.0375
5.    Sen.  B = 0.54639
6.    Sec.   J = 1.8364
7.    Ctg.  L = 27.532
8.    Csc  H = 17.629
9.    Cos.  N = 0.84632
10.    Ctg.  G = 0.02162
11.    Sec.   I  = 1.0246
12.    Tg    A =  0.2424
13.     Sen  A = 0.8813
14.    Tg   F =  19.821
 
   

5. Teorema de  pitagoras y resolucion de  triangulos rectangulos.

6. Razones trigonometricas para  angulos de  30º y  60º.

7. Angulos de  evaluacion y  angulos de  deprecion.

8. Aplicaciones o  problemas que  se resuelven aplicando  funciones trigonometricas