OBJETIVO DE LA UNIDAD
Resolver situaciones que inpliquen la utilizacion de relaciones y funciones matematicas, aplicando correctamente procedimientos, conceptos y propiedades, valorando el aporte de los demas compañeros.
CONTENIDOS A ESTUDIAR
1. Conjunto, definicion y ejemplo.
DEFINICION DE CONJUNTOS
Se llama conjuntos la colección o agrupación de objetos y el mismo tipo y la misma clase
Ejemplo:
Objetos que forman los conjuntos se llaman elementos, los conjuntos se representan con letra mayúscula a la y los elementos se representan por letra minúscula.
Pertenece: “ε” Y no pertenecen: €
2. Sistemas de numeracion.
Los sistemas de numeración son los siguientes:
1-Numeros Naturales: N
2-Numeros Enteros: Z
3-Numeros Racionales: Q
4-Numeros Irracionales: Q’
5-Numeros reales: R
Números naturales: N
* Numeros naturales:( N)
Definición: Se llaman números naturales todos los números que sirven para contar y se representan con la letra “N”.
Geométricamente los números naturales están en un segmento de la línea recta cuyo primer elemento es el número 1 hasta el infinito positivo.
Así:
PROPIEDADES O CARACTERISTICAS DE LOS NUMEROS NATURALESP1) El primer elemento es el No. 1
P2) Es un conjunto infinito: que no podemos contar su último elemento.
P3) Todos los naturales tienen un sucesor Ej.: el sucesor de 5 es 6 el de 6 es 7.
P4) Todos los naturales tienen un antecesor menos el numero uno que no tiene antecesor. Ejemplo. El antecesor de 5 es 4.
P5) Entre dos números consecutivos naturales entre 5 y 6 no hay ni existe numero naturales
P6) Es un conjunto discreto que significa que son números enteros positivos.
p7) Un número natural y su sucesor se llaman números consecutivos ejemplo: 5 y 6 son números consecutivos.
p8) Los números naturales es un conjunto ordenado significa que 2 números naturales siempre es cierto que uno de ellos es mayor o menor ej. Sean 2 y 7 números naturales decimos que 7 >2 ¿Por qué? R: porque está a la derecha.
* Numeros enteros:( Z)
Los números enteros aparecen para dar respuestas a situaciones de los números naturales nos dan solución. Los números enteros se simbolizan por la letra Z y su representación grafica es la recta numérica o recta real así:
P9) Propiedad de cierre esta propiedad natural se dice si operamos 2 números naturales obtenemos como resultado otro número natural:
Probar las operaciones.
1. Suma 4. División
2. Resta 5.Potenciacion
3. Multiplicación 6.Radicacion
1. 2+5= 7: DONDE 2, 5, 7 en si cumple la propiedad de cierre
2. 2-5=-3: no cumple
3. 2 * 5= 10 donde 2, 5, 10 si cumple.
4. 2/ 5 = 0.4 no cumple porque 0.4 no pertenece a los naturales.
5. 25= 32: si cumple.
6. Raíz cuadrada de = √1.14: no cumple porque 1.14 no pertenece a los naturales
Se concluyen: cumplen con la propiedad de cierre los números naturales las operaciones: suma, multiplicación, potenciación.
Propiedades o características de los enteros Z.
1) Los números enteros son infinitos
2) No tienen ni un 1 o o ultimo elemento
3) Entre 2 enteros consecutivos no existe números enteros Ej.: -8 y -7
4) Todo número entero tiene un antecesor Ej. -7 es -8
5) Todo número entero tiene un sucesor ej. -7 es -6
6) El conjunto de números enteros es un conjunto ordenado pues dados los números los Z se cumplen las siguientes condiciones sean mayor o menor Ej.
- 8 <-7 - 8 es menor que -7 porque está a la izquierda.
7) El valor absoluto de un número Z es siempre positivo así:
(a) = a
(-a)= a
Ejemplo: hallar el valor absoluto de
(2)= 2
(-2)=2
8) Propiedad de cierre: Esta propiedad dice si al operar 2 números enteros el resultado es también un número entero. Probar la propiedad de cierre si se cumple las siguientes operaciones para la: Suma, Resta, Multiplicación, División, Potenciación, Radicación, 2 y 5.
Suma: 2 + 5 = 7 como 2, 5, y 7 es €Z la suma cumple la propiedad de cierre
Resta: 2-5= -3 si cumple
División: 2/ 5 = 0.4 no cumple porque 0.4 no pertenece a los Z
Potenciación: 25 = 32 si cumple
Radicación: raíz cuadrada de√(5&2) = 1.14 no cumple porque 1.14 no pertenece
CONCLUIMOS
Las operaciones que cumplen con la propiedad de cierre son la suma, la resta, la multiplicación, y la potenciación.
* Numeros racionales o fracciones( Q)
P9) Propiedad de cierre esta propiedad natural se dice si operamos 2 números naturales obtenemos como resultado otro número natural:
Probar las operaciones.
1. Suma 4. División
2. Resta 5.Potenciacion
3. Multiplicación 6.Radicacion
1. 2+5= 7: DONDE 2, 5, 7 en si cumple la propiedad de cierre
2. 2-5=-3: no cumple
3. 2 * 5= 10 donde 2, 5, 10 si cumple.
4. 2/ 5 = 0.4 no cumple porque 0.4 no pertenece a los naturales.
5. 25= 32: si cumple.
6. Raíz cuadrada de = √1.14: no cumple porque 1.14 no pertenece a los naturales
Se concluyen: cumplen con la propiedad de cierre los números naturales las operaciones: suma, multiplicación, potenciación.
Propiedades o características de los enteros Z.
1) Los números enteros son infinitos
2) No tienen ni un 1 o o ultimo elemento
3) Entre 2 enteros consecutivos no existe números enteros Ej.: -8 y -7
4) Todo número entero tiene un antecesor Ej. -7 es -8
5) Todo número entero tiene un sucesor ej. -7 es -6
6) El conjunto de números enteros es un conjunto ordenado pues dados los números los Z se cumplen las siguientes condiciones sean mayor o menor Ej.
- 8 <-7 - 8 es menor que -7 porque está a la izquierda.
7) El valor absoluto de un número Z es siempre positivo así:
(a) = a
(-a)= a
Ejemplo: hallar el valor absoluto de
(2)= 2
(-2)=2
8) Propiedad de cierre: Esta propiedad dice si al operar 2 números enteros el resultado es también un número entero. Probar la propiedad de cierre si se cumple las siguientes operaciones para la: Suma, Resta, Multiplicación, División, Potenciación, Radicación, 2 y 5.
Suma: 2 + 5 = 7 como 2, 5, y 7 es €Z la suma cumple la propiedad de cierre
Resta: 2-5= -3 si cumple
División: 2/ 5 = 0.4 no cumple porque 0.4 no pertenece a los Z
Potenciación: 25 = 32 si cumple
Radicación: raíz cuadrada de√(5&2) = 1.14 no cumple porque 1.14 no pertenece
CONCLUIMOS
Las operaciones que cumplen con la propiedad de cierre son la suma, la resta, la multiplicación, y la potenciación.
* Numeros racionales o fracciones( Q)
Definición de números racionales.
Se llaman números racionales el conjunto de los números formados por el cociente de 2 números enteros de la forma a/b , donde b ≠ 0
a = numerador
b = denominador
El denominador indica: el número de partes en que se divide la unidad.
El numerador indica: el número de partes en que tomamos la unidad Ej.
1/2 , 3/5 , 2/7 , 5/3
Notación simbólica de Q
El conjunto de números racionales simbólicamente se representa así:
Q: {a/b) a y b € Z, b≠0 )
Notación grafica de Q
El conjunto de números racionales se representan gráficamente en la recta numérica igual que los números (Z) ejemplo representar gráficamente las siguientes fracciones:
PROPIEDADES DE Q:
P1) El conjunto de los racionales es infinito
P2) Es un conjunto denso: esto significa que entre 2 números racionales hay infinidad de números racionales o fracciones.
P3) Cada número racional o fracción le corresponde un punto en la recta numérica.
P4)Todo número fraccionario no tiene sucesor ni antecedente. Ej. el antecesor de 2/5 no existe
P5)El conjunto de Q es un conjunto ordenado esto significa que las 2 funciones si se cumplen una de las 2 posiciones siguientes: que sea mayor o menor de la otra fracción Ej. Dados las fracciones 2/5 y 7/4 ¿ qué fracción es mayor? R\\ dividir numerador entre denominador y luego compararlo. Es mayor 7/4 que 2/5
P6) Todo numero entero es un numero fraccionario colocamos como denominador la unidad para convertir los enteros o fraccionarios.
P7) Esta propiedad dice al operar dos fracciones obtenemos como resultado otra fracción a si para
La suma 2/(5 )+ 3/4=(8+15)/20=23/20
La resta 2/5- 3/4=(8-15)/20=(-7)/20
Multiplicación 2/5×3/4=6/20
División 2/5÷3/4=2/5×4/3=8/15
Potenciación (2/5)^3=〖2/5〗_3^3=8/125
Radicación ∛(2/5)=∛2/∛5=1.25/1.70=0.73
NOTA: Cuando no aparecen signos de agrupación como los paréntesis entonces las operaciones PRODUCTO y COCIENTE se desarrollan primero con respecto a la suma y a la resta.
A) 4/5 (8/21 × 14/(3.))
4/5-1/4=(252-560)/315=182/392
B)(3/4×5/7)-1/14
15/28-1/14=(210-28)/392=182/392
Valida:
Para naturales, enteros, racionales.
C) 25- 10÷2 D) 7+18÷2
=25-5 =7+2
=20 =9
* Números irracionales: (Q`)
Se llaman números irracionales Q¹ los números que no son racionales o fraccionarios Ej.
Todos los constantes son números irracionales ejemplo
Los símbolos (Pi:π)
Ejemplo 2 todos los números los números de raíces que no tienen raíces exactas son números irracionales. Ejemplo√2 =1.14
√3= 1.73
√5=2.23
√6=2.44
√7=2.82
√8=3.16
Los números reales son los números más intensos que se conocen y comprenden a todos los demás e incluye conjuntos de números naturales a los Z a los racionales y los irracionales si:
Notación simbólica: R
Se simboliza así:
R={x/x│∈Q o x ∈Q^}
Símbolos
x= símbolos números
{ } Conjunto de números X
Notación de graficas de R
La gráfica de los números reales es la recta numérica completa o recta real.
Cuadro resumen de los conjuntos numéricos.
TEMA: CUNJUNTOS POR COMPRENSION Y CONJUNTOS POR EXTENSION.
Conjuntos por comprensión:
Un conjunto está determinado por comprensión cuando sus elementos cumplen una propiedad, una condición o una característica que es común a todos los elementos.
Conjuntos por extensión:
Un conjunto está determinado por extensión cuando sus elementos se enumeran, se separan por comas y se encierran entre llaves conjuntos por extensión: o por enumerados.
Complemente el siguiente cuadro de conjuntos:
Se llaman números racionales el conjunto de los números formados por el cociente de 2 números enteros de la forma a/b , donde b ≠ 0
a = numerador
b = denominador
El denominador indica: el número de partes en que se divide la unidad.
El numerador indica: el número de partes en que tomamos la unidad Ej.
1/2 , 3/5 , 2/7 , 5/3
Notación simbólica de Q
El conjunto de números racionales simbólicamente se representa así:
Q: {a/b) a y b € Z, b≠0 )
Notación grafica de Q
El conjunto de números racionales se representan gráficamente en la recta numérica igual que los números (Z) ejemplo representar gráficamente las siguientes fracciones:
PROPIEDADES DE Q:
P1) El conjunto de los racionales es infinito
P2) Es un conjunto denso: esto significa que entre 2 números racionales hay infinidad de números racionales o fracciones.
P3) Cada número racional o fracción le corresponde un punto en la recta numérica.
P4)Todo número fraccionario no tiene sucesor ni antecedente. Ej. el antecesor de 2/5 no existe
P5)El conjunto de Q es un conjunto ordenado esto significa que las 2 funciones si se cumplen una de las 2 posiciones siguientes: que sea mayor o menor de la otra fracción Ej. Dados las fracciones 2/5 y 7/4 ¿ qué fracción es mayor? R\\ dividir numerador entre denominador y luego compararlo. Es mayor 7/4 que 2/5
P6) Todo numero entero es un numero fraccionario colocamos como denominador la unidad para convertir los enteros o fraccionarios.
La suma 2/(5 )+ 3/4=(8+15)/20=23/20
La resta 2/5- 3/4=(8-15)/20=(-7)/20
Multiplicación 2/5×3/4=6/20
División 2/5÷3/4=2/5×4/3=8/15
Potenciación (2/5)^3=〖2/5〗_3^3=8/125
Radicación ∛(2/5)=∛2/∛5=1.25/1.70=0.73
NOTA: Cuando no aparecen signos de agrupación como los paréntesis entonces las operaciones PRODUCTO y COCIENTE se desarrollan primero con respecto a la suma y a la resta.
A) 4/5 (8/21 × 14/(3.))
4/5-1/4=(252-560)/315=182/392
B)(3/4×5/7)-1/14
15/28-1/14=(210-28)/392=182/392
Valida:
Para naturales, enteros, racionales.
C) 25- 10÷2 D) 7+18÷2
=25-5 =7+2
=20 =9
* Números irracionales: (Q`)
Se llaman números irracionales Q¹ los números que no son racionales o fraccionarios Ej.
Todos los constantes son números irracionales ejemplo
Los símbolos (Pi:π)
Ejemplo 2 todos los números los números de raíces que no tienen raíces exactas son números irracionales. Ejemplo√2 =1.14
√3= 1.73
√5=2.23
√6=2.44
√7=2.82
√8=3.16
* Números reales (R)
Los números reales son los números más intensos que se conocen y comprenden a todos los demás e incluye conjuntos de números naturales a los Z a los racionales y los irracionales si:
Notación simbólica: R
Se simboliza así:
R={x/x│∈Q o x ∈Q^}
Símbolos
x= símbolos números
{ } Conjunto de números X
Notación de graficas de R
La gráfica de los números reales es la recta numérica completa o recta real.
Cuadro resumen de los conjuntos numéricos.
TEMA: CUNJUNTOS POR COMPRENSION Y CONJUNTOS POR EXTENSION.
Conjuntos por comprensión:
Un conjunto está determinado por comprensión cuando sus elementos cumplen una propiedad, una condición o una característica que es común a todos los elementos.
Conjuntos por extensión:
Un conjunto está determinado por extensión cuando sus elementos se enumeran, se separan por comas y se encierran entre llaves conjuntos por extensión: o por enumerados.
Complemente el siguiente cuadro de conjuntos:
3. Planos cartesianos y pares ordenados.
Se le llama plano cartesiano es el conjunto de dos líneas numéricas perpendiculares entre sí (se cortan a 90), llamadas Ejes: un eje horizontal o eje “X” y un eje vertical llamado eje “Y”.
El eje horizontal también se llama eje de las abscisas y el eje vertical también se llama eje de las ordenadas.
El plano cartesiano se utiliza para ubicar pares ordenados o puntos de la forma (x,y).
Par ordenado.
Se le llama par ordenado al conjunto de dos elementos con un orden establecido y son de la forma (x, y) donde “x” se llama primera componente y “y” segunda componente.
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